Первое, что нужно помнить, это то, что в году существует только 14 возможных шаблонов дней: два для каждого дня недели (один для високосного года, один для не високосного года).
Второе, что нужно помнить, это то, что первые 364 дня в году не имеют значения, потому что это кратно 7 (и, следовательно, в первые 364 дня всегда 5 x 52 = 260 рабочих дней).
То есть вы заботитесь только о последних 1-2 днях.
Они оба могут быть рабочими днями, поэтому ответ на вопрос - 262.
Если вы хотите, чтобы быстрый алгоритм вычислял количество рабочих дней в любом конкретном году, вам просто нужно придумать формулу, которая превращает год в правильный год. Это не должно быть слишком сложно, учитывая, что високосные годы предсказуемы.