Как только текст выделен, отправьте его на фоновую страницу, где вы бы сохранили его, скажем, textSelection
глобальная переменная.После открытия всплывающего окна вы можете получить доступ к этой переменной с помощью:
var selection = chrome.extension.getBackgroundPage().textSelection;
(вы можете получить доступ к любой переменной и функции непосредственно из фоновой страницы без запросов)