Извините, другого пути нет.
ОБНОВЛЕНИЕ
На самом деле есть способ.Вместо переноса данных с фоновой страницы в скрипт контента вы можете извлекать данные из скрипта контента, и для этого не требуются никакие разрешения:
скрипт контента:
chrome.extension.sendRequest({cmd: "getData"}, function(response) {
console.log("data:", response);
});
фоновая страница:
chrome.extension.onRequest.addListener(function(request, sender, sendResponse) {
if(request.cmd == "getData") {
sendResponse({param1: "value1", param2: "value2"});
}
});