Вы можете использовать ссылку на FMResultSet в другом месте, однако она должна использоваться в том же потоке, где был выполнен исходный запрос.
Кроме того, вы можете перебрать набор результатов только один раз. После итерации он автоматически закроет оператор sqlite, и вы больше не сможете получить доступ к результатам.
Если это не даст вам никаких подсказок, опубликуйте весь соответствующий код.