Оказывается, что скомпилированный файл «Resources.Designer.cs», который идет вместе с «Resources.resx» для проекта, НЕ восстанавливается при обновлении одного из файлов ресурсов. Поэтому вам необходимо заново создать файл «Resources.Designer.cs» вручную. Вот статья от Marek Grzenkowicz, которая показывает, как восстановить файл, щелкнув правой кнопкой мыши «Resources.resx» и выбрав «Запустить пользовательский инструмент». После этого я запустил свою программу, и она, наконец, использовала обновленную версию моего файла ресурсов.