Нашел проблему. Оставьте это здесь, чтобы помочь кому-то, у кого может быть такая же проблема.
Я не могу использовать объект отправителя для получения DetailsView.
Итак, правильный путь:
TextBox txt = (TextBox)DETAILSVIEW_ID.FindControl("TEXTBOX_ID") as TextBox;
string tmp = txt.Text;
DETAILSVIEW_ID - это идентификатор DetailsView и TEXTBOX_ID - идентификатор TextBox, помещенного в DetailsView.