Эд Хил упоминает одно решение, но есть другое:
Просто подключитесь к некоторому внешнему хосту и спросите его, какой IP-адрес он видит, вот так (пример для PHP):
$my_public_ip = file_get_contents('http://ip.42.pl/raw');
Этот конкретный пример, который я знаю, вернет одну строку, содержащую только IP-адрес. Я не знаю других услуг, предлагающих это, хотя, вероятно, их много. Главная страница вышеуказанного скрипта / сервиса: http://ip.42.pl/.
Если вам известны подобные сервисы, пожалуйста, опубликуйте их URL в комментариях, чтобы у будущих читателей были другие варианты.