Запустите таймер с нужным интервалом, а затем, когда он заработает в первый раз, закройте форму.
Как то так
private Timer _timer;
public PopupForm()
{
InitializeComponent();
_timer = new Timer();
_timer.Interval = 5000; // interval in milliseconds here.
_timer.Tick += (s, e) => this.Close();
_timer.Start();
}
На самом деле, самый умный способ, вероятно, заключался бы в использовании собственного метода StartCountdown (), который принимает время в качестве параметра. Обычно такая логика не должна быть в конструкторе, строго говоря ...