$array['network'][0]['alerttitle'];
или
for ($i=0; $i < count($array['network']); $i++) {
echo $array['network'][$i]['alerttitle'];
}
если их более одного
к вашему измененному примеру:
$array = array(
'foobar' => array(
'foo' => 'afoasfd',
'alerttitle' => 'fasfdasf'
),
'alerttitle' => 'foobar'
);
$output = array();
array_walk_recursive($array, 'foo', &$output);
function foo($val, $key, $obj){
if($key == 'alerttitle') array_push($obj, $val);
}
print_r($output);