Ext JS - это библиотека на стороне клиента.
Хотя было бы возможно запустить его на стороне сервера (вы можете запустить на стороне сервера javascript), делать это абсолютно бессмысленно (это не будет переводиться в функциональность на стороне клиента, которую ищет ваш клиент).
Если клиент требует, чтобы вы использовали Ext JS, это означает, что он хочет его на стороне клиента.
Вы должны спросить клиента, есть ли у него какие-либо требования на стороне сервера. Если нет, используйте то, что вам нравится. Если у вас есть опыт работы с ASP.NET, я бы порекомендовал ASP.NET MVC (из чего построен StackOverflow)