Как отмечает hvgotcodes, вполне возможно написать тесты JUnit для сервлетов. Но я бы посоветовал вам тщательно подумать, прежде чем сделать это.
Сервлеты являются прослушивателями HTTP-запросов; они запускаются в контейнере сервлетов, отвечают на любые возникающие HTTP-запросы и упаковывают результаты для отправки обратно. Это все, что они должны делать, по моему мнению. Настоящую работу лучше оставить другим объектам, которые сервлет может собрать. Это могут быть POJO, скорее всего, на основе интерфейса, что будет означать более простое тестирование без необходимости запуска контейнера сервлета для запуска теста. Если вы решите, что вам нужны те же функции в настройках, не связанных с сетью, это легко сделать, поскольку они уже находятся в объектах, отличных от сервлета.
Я бы пересмотрел дизайн. Использование большого количества функций в сервлете может быть плохим решением.