Я наконец понял, как это сделать!
Прежде всего, включите в ваш проект следующие фреймворки: AudioToolbox, CoreAudio, MediaPlayer и AVFoundation. Импортируйте их все в viewController, где будет размещен ваш плеер. После того, как вы распределили и начали воспроизводить аудио, введите следующий код:
UInt32 sessionCategory = kAudioSessionCategory_MediaPlayback;
AudioSessionSetProperty (kAudioSessionProperty_AudioCategory, sizeof (sessionCategory), &sessionCategory);
AudioSessionSetActive(true);
И, наконец, перейдите в файл Info.plist вашего приложения и добавьте строку с именем UIBackgroundModes. Новая строка будет массивом и будет содержать 1 элемент, элемент 0. Для этого вы просто установите значение как аудио. И вы сделали! Наслаждайтесь игрой в фоновом режиме!