Поместите значения в скрытое поле формы, как клиент меняет их порядок.Когда клиент нажмет кнопку «Сохранить», возьмите то скрытое поле, которое вы можете использовать для определения нового заказа.
Использование чего-то вроде плагина jquery sortable может облегчить вашу жизнь, поскольку вам не понадобятся кнопки вверх и вниз.
Сказав это, поскольку ваши кнопки, вероятно, будут использоваться только дляфункциональность на стороне клиента, они действительно не должны быть (и не должны быть кнопками asp.net)