Как распараллелить интеграцию в Mathematica 8 - PullRequest
Новая
       33

Как распараллелить интеграцию в Mathematica 8

3 голосов
/ 05 ноября 2011

Кто-нибудь имеет представление, как использовать все ядра для расчета интеграции?Мне нужно использовать параллельные или параллельные таблицы, но как?

 f[r_] := Sum[(((-1)^n*(2*r - 2*n - 7)!!)/(2^n*n!*(r - 2*n - 1)!))*
 x^(r - 2*n - 1), {n, 0, r/2}]; 


 Nw := Transpose[Table[f[j], {i, 1}, {j, 5, 200, 1}]]; 

 X1 = Integrate[Nw . Transpose[Nw], {x, -1, 1}]; 

 Y1 = Integrate[D[Nw, {x, 2}] . Transpose[D[Nw, {x, 2}]], {x, -1, 1}]; 

 X1//MatrixForm
 Y1//MatrixForm

Ответы [ 2 ]

8 голосов
/ 06 ноября 2011

Я изменил интеграцию списка в список интеграций, чтобы я мог использовать ParallelTable: 

X1par=ParallelTable[Integrate[i, {x, -1, 1}], {i, Nw.Transpose[Nw]}];

X1par==X1

(* ===> True *)

Y1par = ParallelTable[Integrate[i,{x,-1,1}],{i,D[Nw,{x,2}].Transpose[D[Nw,{x,2}]]}]

Y1 == Y1par

(* ===> True *)

В мои сроки, когда {j, 5, 30, 1} вместо {j, 5, 200, 1} использовалось для некоторого ограничения времени, это примерно в 3,4 раза быстрее на моем ядре quod-core. Но это можно сделать еще быстрее с помощью: 

X2par = Parallelize[Integrate[#, {x, -1, 1}] & /@ (Nw.Transpose[Nw])]

X2par == X1par == X1

(* ===> True *)

Это примерно в 6,8 раза быстрее, в 2,3 раза из-за Parallelize.

Timing и AbsoluteTiming не очень заслуживают доверия, когда речь идет о параллельном выполнении. Я использовал AbsoluteTime до и после каждой строки и взял разницу.

EDIT

Мы не должны забывать ParallelMap:

На уровне самого грубого списка (1): 

ParallelMap[Integrate[#, {x, -1, 1}] &, Nw.Transpose[Nw], {1}]

На самом глубоком уровне списка (наиболее мелкозернистое распараллеливание): 

ParallelMap[Integrate[#, {x, -1, 1}] &, Nw.Transpose[Nw], {2}]
2 голосов
/ 08 ноября 2011

Если кто-то помогает немного интегрироваться, сначала расширяя матричные элементы, все выполнимо с небольшим усилием.

На четырехъядерном ноутбуке с Windows и Mathematica 8.0.4 работает следующий код для заданного DIM = 200 примерно за 13 минут, для DIM = 50 код выполняется за 6 секунд. 

$starttime = AbsoluteTime[]; Quiet[LaunchKernels[]]; 
DIM = 200; 
Print["$Version = ", $Version, "  |||  ", "Number of Kernels : ", Length[Kernels[]]]; 
f[r_] := f[r] = Sum[(((-1)^n*(-(2*n) + 2*r - 7)!!)*x^(-(2*n) + r - 1))/(2^n*n!*(-(2*n) + r - 1)!), {n, 0, r/2}]; 
Nw = Transpose[Table[f[j], {i, 1}, {j, 5, DIM, 1}]]; 
nw2 = Nw . Transpose[Nw]; 
Print["Seconds for expanding Nw.Transpose[Nm] ", Round[First[AbsoluteTiming[nw3 = ParallelMap[Expand, nw2]; ]]]]; 
Print["do the integral once: ", Integrate[x^n, {x, -1, 1}, Assumptions -> n > -1]]; 
Print["the integration can be written as a simple rule: ", intrule = (pol_Plus)?(PolynomialQ[#1, x] & ) :> 
     (Select[pol,  !FreeQ[#1, x] & ] /. x^(n_.) /; n > -1 :> ((-1)^n + 1)/(n + 1)) + 2*(pol /. x -> 0)]; 
Print["Seconds for integrating Nw.Transpose[Nw] : ", Round[First[AbsoluteTiming[X1 = ParallelTable[row /. intrule, {row, nw3}]; ]]]]; 
Print["expanding: ", Round[First[AbsoluteTiming[preY1 = ParallelMap[Expand, D[Nw, {x, 2}] . Transpose[D[Nw, {x, 2}]]]; ]]]]; 
Print["Seconds for integrating : ", Round[First[AbsoluteTiming[Y1 = ParallelTable[py /. intrule, {py, preY1}]; ]]]]; 
Print["X1 = ", (Shallow[#1, {4, 4}] & )[X1]]; 
Print["Y1 = ", (Shallow[#1, {4, 4}] & )[Y1]]; 
Print["seq Y1 : ", Simplify[FindSequenceFunction[Diagonal[Y1], n]]]; 
Print["seq X1 0 : ",Simplify[FindSequenceFunction[Diagonal[X1, 0], n]]]; 
Print["seq X1 2: ",Simplify[FindSequenceFunction[Diagonal[X1, 2], n]]]; 
Print["seq X1 4: ",Simplify[FindSequenceFunction[Diagonal[X1, 4], n]]]; 
Print["overall time needed in seconds: ", Round[AbsoluteTime[] - $starttime]];
...