Измените код на что-то вроде этого:
today.setDate(today.getDate() + 1);
var the_cookie = "screen_resolution=" + screen.width + "x" + screen.height + ";expires=" + today;
document.cookie = the_cookie;
Функция setDate
не будет возвращать новую дату, насколько я знаю, поэтому она означает, что у вашего куки-файла нет даты истечения срока действия ... возможно, в некоторых браузерах есть значение по умолчанию, а некоторые будут считать этот файл cookie недействительным.