Прежде чем начать, позвольте мне сказать: это не домашняя работа, просто старая, забавная.
Теперь я пытаюсь придумать алгоритм, который может ответить на этот вопрос 1 / x +1 / y = 1 / n! .
И, как вы можете видеть по ссылке выше, автор попросил только подсказки, а не фактический ответ, поэтому я бы любезно попросил то же самое.
Я упрощал выражение до (x - n!) (Y - n!) = (N!) ^ 2, как подсказал один из ответов , и к тому времени я понял, чтоколичество комбинаций пар (x, y) совпадает с числом делителей n! ^ 2 (поправьте меня, если я ошибаюсь).
Итак, как подсказывает принятый ответ , я пытаюсь получить умножение всех факторов каждого простого числа, составляющего N! ^ 2.
Я придумал некоторый код на C, используя пробное деление для разложения N! ^ 2 и Сито Эратосфена для получения всех простых чисел вплоть до sqrt (N! ^ 2).
Теперь проблема в памяти, я пыталсяс N = 15, и мой Mac (Quad Core 6 ГБ памяти) почти умер от меня.Проблема была в памяти.Поэтому я добавил несколько printf и попробовал с N = 11:
Sieve of Eratosthenes took 13339.910000 ms and used 152 mb of memory
n= 11; n!^2 = 1593350922240000; d = 6885
[2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,5,5,5,5,7,7,11,11]
Список - это все основные факторы N! ^ 2 (кроме 1 и N! ^ 2, конечно).
Мне бы хотелось несколько советов о том, как минимизировать потребление памяти и возможные оптимизации.
Код ниже, это был всего лишь быстрый эксперимент, поэтому я уверен, что его можно оптимизировать.
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#include <strings.h>
#include <sys/time.h>
#include <assert.h>
//Linked List
struct node {
struct node * next;
long val;
};
void addValue(struct node *list, long val) {
struct node *n = list;
if (n->val == -1) {
n->val = val;
return;
}
while (n->next) {
n = n->next;
}
struct node *newNode = malloc(sizeof(struct node));
newNode->val = val;
newNode->next = NULL;
n->next = newNode;
}
void freeLinkedList(struct node *list) {
struct node *c = list;
if (!c) return;
struct node *n = c->next;
free(c);
freeLinkedList(n);
}
void printList(struct node *list) {
struct node *n = list;
printf("[");
while (n) {
printf("%ld", n->val);
n = n->next;
if (n) {
printf(",");
}
}
printf("]\n");
}
//-----------
int fac(int n) {
if (n == 1) return 1;
return fac(n-1)*n;
}
//Sieve of Eratosthenes
int sieve_primes(long limit, long **list) {
struct timeval t1;
struct timeval t2;
double elapsedTime = 0;
gettimeofday(&t1, NULL);
assert(limit > 0);
//Create a list of consecutive integers from 2 to n: (2, 3, 4, ..., n).
long arrSize = limit-1;
long *arr = malloc(sizeof(long)*arrSize);
long c = 2;
for (long i = 0; i < arrSize; i++) {
arr[i] = c++;
}
assert(arr[arrSize-1] == limit);
for (long i = 0; i < arrSize; i++) {
//Let p be equal to the first number not crossed
long p = arr[i];
if (p == 0) continue;
//Starting from p, count up in increments of p and mark each of these numbers greater than p itself in the list.
for (long f = p+p; f < arrSize; f+=p) {
arr[f] = 0;
}
}
*list = arr;
gettimeofday(&t2, NULL);
elapsedTime = (t2.tv_sec - t1.tv_sec) * 1000.0; // sec to ms
elapsedTime += (t2.tv_usec - t1.tv_usec) / 1000.0; // us to ms
printf("Sieve of Eratosthenes took %f ms and used %lu mb of memory\n",elapsedTime, (arrSize * sizeof(int))/1024/1024);
return arrSize;
}
void trial_division(struct node* list, long n) { if (n == 1) {
addValue(list, 1);
return;
}
long *primes;
long primesSize = sieve_primes(sqrt(n), &primes);
struct timeval t1;
struct timeval t2;
double elapsedTime = 0;
gettimeofday(&t1, NULL);
for (long i = 0; i < primesSize; i++) {
long p = primes[i];
if (p == 0) continue;
if (p*p > n) break;
while (n % p == 0) {
addValue(list, p);
n/=p;
}
}
if (n > 1) {
addValue(list, n);
}
free(primes);
}
int main(int argc, char *argv[]) {
struct node *linkedList = malloc(sizeof(struct node));
linkedList->val = -1;
linkedList->next = NULL;
long n = 11;
long nF = fac(n);
long nF2 = nF*nF;
trial_division(linkedList, nF2);
long multOfAllPrimeFactors = 1;
struct node *c = linkedList;
while (c) {
long sumOfVal = 2;
long val = c->val;
c = c->next;
while(c) {
long val2 = c->val;
if (val == val2) {
sumOfVal++;
c = c->next;
} else break;
}
multOfAllPrimeFactors*=sumOfVal;
}
printf("n= %ld; n!^2 = %ld; d = %ld\n", n,nF2, multOfAllPrimeFactors);
printList(linkedList);
freeLinkedList(linkedList);
}
РЕДАКТИРОВАТЬ:
В качестве примера я покажу вам расчет для получения всех возможных положительных целочисленных решений исходного уравнения:
3! ^ 2 =36 = (3 ^ 2 * 2 ^ 2 * 1 ^ 0)
Таким образом, существует (1 + 2) (1 + 2) (1 + 0) = 9 возможных положительных целочисленных решений длядиофантово уравнение.Двойной, если вы считаете отрицательные целые числа.Я использую WolframAlpha , чтобы быть уверенным.
РЕДАКТИРОВАТЬ 2:
Я думаю, я только что узнал, "что такое факториал", яПолучаю очень интересный вывод:
3! = [2,3]
3!^2 = [2,2,3,3]
3!^3 = [2,2,2,3,3,3]
3!^4 = [2,2,2,2,3,3,3,3]
Спасибо: D