Вместо отображения экрана «входящего вызова» по умолчанию я хотел бы показывать свой собственный экран (из моего приложения) всякий раз, когда я получаю вызов на моем iPhone.
Возможно ли это?
краткий ответ; нет.
iOS не позволяет вам взять на себя эту функцию.
По крайней мере, не "из коробки".