Вы не можете установить кросс-браузерные куки, куки установлены в конкретном браузере, а не на стороне сервера.
Одна вещь, которую вы можете сделать, - это отслеживание IP-адреса. Это означает, что вы начинаете сохранять IP-адрес на своем сервере, и при поступлении одного и того же вызова из другого браузера вы устанавливаете cookie-файл в этом браузере с сервера.