Вы не делаете копию, вы просто пытаетесь вставить (существующий) узел в другое место.
DefaultMutableTreeNode selectedNode = (DefaultMutableTreeNode)tree.getLastSelectedPathComponent();
def obj = selectedNode.getUserObject()
DefaultMutableTreeNode parentNode = (DefaultMutableTreeNode)node.getRoot().getChildAt(0);
model.insertNodeInto(new DefaultMutableTreeNode(obj), parentNode, 0);
(Очевидные синтаксические ошибки не исправлены, я не ваш компилятор.)