Как найти 10 значений, экспоненциально распределенных, которые суммируют со значением, х

Question

у меня есть значение, например 2.8.Я хочу найти 10 чисел, которые находятся на экспоненциальной кривой, которые суммируются с этим значением.

То есть я хочу получить 10 чисел, которые в сумме составляют 2,8 и которые при построении выглядят каккривая ниже (экспоненциальный спад).Эти 10 чисел должны быть равномерно распределены вдоль кривой, то есть «шаг x» между значениями должен быть постоянным.

Это значение 2,8 будет введено с помощьюпользователь и, следовательно, способ, которым я вычисляю это, должен быть своего рода алгоритмом, который я могу программировать (следовательно, спрашиваю это на SO, а не на Math.SE).- есть идеи?

Answer 1

Вы хотите, чтобы 10 значений были равномерно распределены, то есть x_k = a + k * b. Они должны выполнить сумму (exp (-x_k)) = v, где v является вашим целевым значением (2.8). Это означает, что exp (-a) * sum (exp (-b) ^ k) = v.

Очевидно, что существует решение для каждого выбора b, если v положительно. Установите b в произвольное значение и вычислите a из него.

например. для v = 2,8 и b = 0,1 вы получаете a = -log (v / sum (exp (-b) ^ k)) = -log (2.8 / sum (0.90484 ^ k)) = -log (2.8 / 6.6425) = -log (0,421526) = 0,86387.

Таким образом, для этого примера значения х будут 0,86387, 0,96387, ..., 1,76387, а значения у 0,421526, 0,381412, 0,345116, 0,312274, 0,282557, 0,255668, 0,231338, 0,2032324, 0,189404, 0,171380.

Обновление:

Поскольку было выяснено, что кривая может быть масштабирована произвольно, а для x предпочтительнее быть 1, 2, 3 ... 9, это намного проще.

Предполагая, что функция кривой равна r * exp (-x), 10 значений будут r * exp (-1) ... r * exp (-9). Их сумма равна r * sum (exp (-x)) = r * 0,58190489. Таким образом, чтобы достичь определенного значения (2.8), вам просто нужно отрегулировать r соответственно:

r = 2,8 / сумма (exp (-x)) = 4,81178294

И вы получите 10 значений: 1.770156, 0.651204, 0.239565, 0.088131, 0.032422, 0.011927, 0.004388, 0.001614, 0.000594.

Answer 2

Я собираюсь обобщить и предположить, что вы хотите, чтобы N чисел суммировалось с V.

Поскольку ваши числа равномерно распределены по экспоненте, вы можете записать свою сумму как

a + a*x + a*x^2 + ... + a*x^(N-1) = V

Гдепервая точка имеет значение a, а вторая a*x и т. д.

. Вы можете взять коэффициент a и получить:

a ( 1 + x + x^2 + ... + x^(N-1) ) = V

Если мы свободнычтобы выбрать x, тогда мы можем легко найти

a = V / ( 1 + x + x^2 + .. x^(N-1) ) 
  = V*(x+1)/(x^N-1)

Подстановка этого обратно в

a, a*x, a*x^2, ..., a*x^(N-1) 

дает требуемую последовательность

Answer 3

Если я правильно понимаю ваш вопрос, то вы хотите найти x, которое решает уравнение

Это может быть решено как

(просто сумма чисел как геометрическая прогрессия)

У уравнения в RootOf всегда будет 1 вещественный квадрат, отличный от 1 для 2,8 или любого другого положительного числа.Вы можете решить ее, используя алгоритм root-finding (1 всегда является корнем, но он не решает исходную задачу).Для константы a вы можете выбрать любое число.

После вычисления x вы можете легко вычислить 10 чисел как .