Да. Вы можете разместить репозиторий git в любом месте - включая невидимый каталог .git, созданный другим репозиторием git. У меня есть друг, у которого есть git, отслеживающий все его файлы конфигурации системы на случай, если он допустит ошибку.
При работе над проектом вы хотите запустить репозиторий в корневом каталоге проекта.
Для уточнения, каждая "рабочая копия" репозитория Git сама является репозиторием Git. Если у вас есть удаленная копия на сервере, это также репозиторий. Вы не «проверяете» оттуда - скорее, вы «проталкиваете» свои изменения, и они объединяются. Если вы работаете над чисто личным проектом, удаленный репозиторий часто не нужен. Если вы хотите разместить удаленно, Github - хороший, бесплатный, публичный выбор.