(отвечая на мой собственный вопрос). Эта проблема действительно состоит из двух частей. Самая простая часть заключается в том, что я пытался изменить текстовый узел, установив его значение следующим образом:
msgComments 1 .value = "Hello Worlds!"; // маркер, чтобы увидеть, что происходит
Чтобы это работало, просто установите innerHTML в строковое значение, например:
msgComment1.innerHTML = "Hello Worlds!"; // теперь это работает.
Вторая часть проблемы заключается в том, что асинхронный вызов chrome.extension.sendRequest требует обратного вызова для обновления innerHTML при получении ответа. Я опубликовал вопрос на этот счет ранее и сам ответил на него после поиска решения в предыдущем посте @ serg.