Я думаю, что вы можете доказать это по индукции. Я сделаю нечетные, и вы можете расширить его:
Без ограничения общности можно сказать, что точки лежат вдоль линии y = 0, а центральная точка находится в точке (0, 0). Это связано с тем, что аффинные преобразования, такие как вращения и перемещение, не влияют на относительные расстояния.
Пусть множество точек на линии определено как P = {(x, 0) <= x является действительным}
Определите расстояние от точки X как сумму (P => | P - X |)
Лемма 1 : Центральная точка должна быть вдоль линии y = 0. Предположим, что центральная точка находится в точке (x, y) с y! = 0. Рассмотрим точку (x, 0) .
sum(P - (x,y)) = sum( sqrt( (p-x)*(p-x) + (0-y)*(0-y) ) )
= sum( sqrt( p*p - 2xp + x*x + y*y ) )
> sum( sqrt( p*p - 2xp + x*x + (0-0)*(0-0) ) )
= sum(P - (x,0))
Это противоречие, поэтому y = 0 должно быть истинным.
Базовый случай 1 элемента : Это нечетное количество элементов, поэтому выберите его: (0, 0). Предположим, что существует точка X = (x, 0) такая, что x ближе. Тогда это означает, что | x - 0 | <(0 - 0) или что | x | <0, что невозможно. Поэтому (0, 0) является центральной точкой. </p>
Базовый случай из 3 элементов : Это нечетное количество элементов, поэтому выберите среднюю точку: (0, 0). Без ограничения общности, пусть две другие точки будут (a <0, 0) и (b> 0, 0). Предположим, что есть точка X = (x, 0), которая ближе. Тогда это означает, что:
| х - 0 | + | x - a | + | x - b | <| 0 - 0 | + | 0 - a | + | 0 - b | </p>
<=>
| х | + | x - a | + | x - b | <| a | + | b | </p>
Однако:
| х | + | x - a | + | x - b | > = | x | + | a | + | b | > = | a | + | b |, что противоречит предположению, поэтому (0, 0) является центральной точкой.
Корпус с N элементами (нечетно) . Предположим, что все нечетные множества точек удовлетворяют вышеуказанным условиям. Пусть P будет множеством с N элементами, и расположите их так:
{(a, 0), Q = {набор из N-2 элементов с центром в (0, 0)}, (b, 0)}
Предположим, что центральной точкой является X = (x, 0).
sum(P - X) = |x-a| + |x-b| + sum(Q - X)
> |x-a| + |x-b| + sum(Q - (0,0))
>= |a| + |b| + sum(Q - (0,0))
= sum(P - (0,0))
Это означает, что предположение противоречит, поэтому (0,0) должно быть центральной точкой.
Это доказывает все нечетные числа. Четные числа должны быть похожими.