Используйте
SELECT `id`, `names`
FROM `screenplays`
WHERE `names` LIKE '%joe%'
OR `names` LIKE '%mike%'
Если имена разделены запятой, и вам не нужны имена, такие как joey, при указании joe, вы можете расширить запрос следующим образом:
SELECT `id`, `names`
FROM `screenplays`
WHERE `names` LIKE 'joe'
OR `names` LIKE '%,joe'
OR `names` LIKE 'joe,%'
OR `names` LIKE '%,joe,%'
и аналогично для каждого ключевого слова