std::sort(v1.begin(), v1.end());
std::sort(v2.begin(), v2.end());
std::vector<string> v3;
std::set_intersection(v1.begin(), v1.end(), v2.begin(), v2.end(), std::back_inserter(v3));
Или, если вы не хотите сортировать:
std::set<string> s1(v1.begin(), v1.end());
std::set<string> s2(v2.begin(), v2.end());
std::vector<string> v3;
std::set_intersection(s1.begin(), s1.end(), s2.begin(), s2.end(), std::back_inserter(v3));
Вы можете использовать мультимножество, если в векторе могут быть дубликаты.