Апплеты в разных вкладках браузера являются независимыми программами.В зависимости от браузера и Java-плагина они могут даже работать в другой виртуальной машине, но даже если они находятся в одной и той же виртуальной машине, они, скорее всего, имеют независимые загрузчики классов и не смогут взаимодействовать с помощью статических переменных.
Есливам нужно хранить пользовательские данные, вы можете использовать JNLP API , например, PersistenceService.
С плагином 1.6 Sun это будет доступно, только если ваш апплет был загружен JNLP,в плагине IcedTea (распространяется с некоторыми версиями OpenJDK) он также доступен для апплетов, загружаемых обычным тегом апплета (без JNLP).
(я понятия не имею, как CookieHandler будет использоваться Applets.)