Вам необходимо добавить событие onsubmit в форму, чтобы принудительно прекратить отправку формы, и, нажав на ссылку submit-results, вы можете принудительно отправить форму с помощью ajax или простого метода отправки формы.
<form id="postcode-form" onsubmit="return false;">
<input id="postcode" type="text" name="postcode" />
<input type="submit" value="search" />
</form>
<a id="show-results" href="#">Show the results</a>
и JS
$('#show-results').click(function(e){
e.preventDefault();
$('#postcode-form').submit();
});