Насколько мне известно, нет способа программно получить доступ к электронной почте через приложение Gmail по умолчанию. Лучше всего найти библиотеку POP или IMAP и интегрировать ее в свое приложение. Введя информацию об их электронной почте, вы сможете получить их электронные письма для этого почтового ящика в своем собственном приложении.