Этот элемент управления, конечно, будет отображаться на странице как стандартный <select>
элемент управления.
С их помощью высота списка после его раскрытия определяется браузером, и вы не можете это контролировать. Вы заметите, что когда список приблизится к нижней части страницы, браузер будет реализовывать полосу прокрутки, как вы предлагали, но не с тем количеством элементов, которое вы, возможно, захотите.
Мое единственное предложение - изучить варианты, предлагаемые некоторыми выпадающими надстройками на стороне клиента. Вы можете найти некоторые jQuery, которые помогут.
Простой поиск в Google по запросу "jquery dropdowns" дал эту статью в качестве наилучшего результата: 38 jQuery и CSS Раскрывающиеся решения для многоуровневого меню . Если вы не можете найти что-то здесь, то есть также много похожих сайтов в результатах поиска.