Один вариант:
Создать вид для "ящика". Вы можете разместить его за другим видом или просто за кадром. Когда пользователь касается нужного места или иным образом заставляет ящик открываться, перемещайте вид в его открытое положение. Если ящик открывается вертикально относительно экрана, вы, вероятно, захотите сдвинуть его вверх или вниз на высоту ящика; если он открывается горизонтально, сдвиньте его влево или вправо на одну ширину ящика. Используйте Core Animation, чтобы упростить анимацию изменения положения и создать вид, будто ящик выдвигается. Кривая анимации UIViewAnimationOptionCurveEaseInOut
сделает этот вид красивым. Очевидно, переместите ящик в другом направлении, чтобы снова закрыть.