Как получить координату внутренней точки треугольника после его деформации?

Question

Предположим, что в 2D есть недоформированный треугольник ABC. Внутри этого треугольника есть точка P. Затем треугольник «Азбука» как-то деформируется, в том числе деформируется его внутренняя точка. Как я могу найти новые координаты точки 'P'?

Я думаю, что должен быть способ представления точки 'P' как:

P = k1*A + k2*B + k3*C, где k1, k2, k3 - некоторые коэффициенты. Тогда мы можем просто использовать эту формулу для деформированного треугольника. Но я не понимаю, как найти эти коэффициенты в общем случае.

PS: Как я понимаю, текстуры opengl работают таким образом.

Answer 1

Думайте о треугольнике как о двух векторах, имеющих общее начало - v1 - это вектор от A до B, v2 - это вектор от A до C. Нам не нужно беспокоиться о подразумеваемом векторе из B в C.Все внутреннее пространство треугольника можно отобразить, взяв линейные комбинации v1 и v2, где коэффициенты масштабируются от 0 до 1. Так что, если коэффициенты равны (0,0), у меня снова будет исходная вершина A.Обратите внимание, что полный набор возможностей здесь фактически отображает четырехугольник - (1,1) будет точкой вне вашего данного треугольника.Тем не менее, для данной внутренней точки вы можете отобразить ее в пространстве, образованном v1, v2, и получить пару коэффициентов.Если мы нарисуем линию от A до внутренней точки, это будет некоторый вектор P;коэффициент для v1 будет просто точечным произведением P и v1;аналогично для v2.

Тогда для деформированного треугольника деформированное внутреннее пространство является теми же коэффициентами, спроецированными против нового v1, v2, образованного новыми вершинами.