Если ваша дата является строкой типа год-месяц-день, вы можете просто сравнить строку:
if ([date1 compare:string2]==NSOrderedAscending) {
} else if ([date1 compare:string2]== NSOrderedDescending) {
} else {
}
Это будет работать, потому что поля в дате от самых важных к меньшим, как сравнение строк.