Неверная строка JSON, просто проверьте ее здесь: http://jsonlint.com/
Итак, в первую очередь ваша строка JSON должна выглядеть следующим образом:
[{"quotes":[{"quote":"sdfsdfsdfdsf!","source":"sdfsdfsdfsdfsdf"},
{"quote":"sdfsdfsdfsdf!","source":"-sdfsfsdf"},{"quote":"asdfsf","source":"sfsfsf"}]}]
А если вы хотите хранить в строковой переменной, то:
public static final String json = "[{\"quotes\":[{\"quot\e":\"sdfsdfsdfdsf!\",\"source\":\"sdfsdfsdfsdfsdf\"},
{\"quote\":\"sdfsdfsdfsdf!\",\"source":\"-sdfsfsdf\"},{\"quote\":\"asdfsf\",\"source\":\"sfsfsf\"}]}]";
Разбор JSON с использованием собственных классов (не с использованием GSON или любого API):
JsonObject obj = new JsonObject(json);
JsonArray array = obj.getJsonArray("quotes");
for(int i=0; i<array.length; i++)
{
JsonObject subObj = array.getJsonObject(i);
String strQuotes = subObj.getString("quote");
String strSource = subObj.getString("source");
}