Если я не понимаю ваш вопрос, вы можете просто попробовать:
st.DeleteTask(tester); // no quotes around variable name
Когда вы помещаете кавычки вокруг него, вы по существу создаете новую строку, которая содержит текст "tester"
. Однако при удалении кавычек C # интерпретирует его как ссылку на переменную tester
, которая содержит строку, которую вы уже создали.