Powershell будет заменять переменную только значением внутри двойных кавычек, одинарные кавычки будут возвращать буквальное значение. Вы захотите экранировать одинарные кавычки с символом `backtick ', поэтому это будет:
$wmiuser = Get-WmiObject Win32_UserAccount -filter "LocalAccount=True AND name=`'$serviceAccountWebName`'"
Когда вы запускаете его, его нужно запускать с повышенными разрешениями. Если вы хотите сделать это на удаленном компьютере, вам нужно сделать это через Remoting или использовать WMI полностью. Без указанной ошибки я предполагаю, что именно этот запрос WMI, скорее всего, удерживает вас.