Нет, push-уведомление всегда будет отображать уведомление, поскольку оно требует согласия пользователя, чтобы проснуться или запустить ваше приложение.Однако если ваше приложение находится на переднем плане и работает, push-уведомление не появится, и ваше приложение сможет обработать сообщение, которое имеет push-уведомление.Все вышесказанное относится и к локальным уведомлениям.
Я не знаю, что вы подразумеваете под состоянием игры.Но просто сделайте так, чтобы ваше приложение слушало скрипт на вашем сервере, который будет передавать информацию вашему приложению.Изменить: Или, как я уже говорил выше, если ваше приложение открыто на переднем плане, push-уведомления не будут отображаться на экране, и вы можете отправлять информацию таким образом.Однако, если вы хотите сделать это в фоновом режиме, это невозможно, несмотря ни на что, если вы действительно многозадачны (GPS, VOIP, Музыка) или у вас нет согласия пользователя с помощью push-уведомления.