Я думаю, вы путаете API REST Twitter с библиотекой @Anywhere.REST API можно использовать только в том случае, если пользователь аутентифицирован с помощью oAuth и приложение предоставляет ключ oAuth в HTTP-запросе.Библиотека @Anywhere - это еще одна библиотека, которая обеспечивает более легкий доступ к Twitter для веб-разработчиков, использующих библиотеку Javascript.
Вы получаете ошибку аутентификации 401, поскольку вы не предоставили заголовки oAuth с запросом API, что означает, чтопользователь не аутентифицирован для API.Это не зависит от схемы аутентификации для @Anywhere (кнопка подключения).
Вы должны либо переписать свой код, чтобы сначала аутентифицировать пользователя через oAuth, а затем использовать вызов REST для публикации твита, илиВы должны использовать функции библиотеки @Anywhere, чтобы предоставить пользователям окно твита.