Создайте пары ключей ssh для каждого сервера, используйте ssh-copy-id для копирования открытых ключей с сервера A на сервер B и с сервера C на сервер A.
Все, что вам нужно сделать, это сообщить сценарию ssh удаленному серверу A, а затем выполнить команду scp для копирования файлов на сервер B.
Редактировать: Вы должны настроить ключи SSH без ключевой фразы! (Или используйте ssh-agent на сервере C и сервере A)