Вот как вы добавляете данные в форму:
<form action="functions.php" method="GET">
<input type="hidden" name="q" value="log" />
<input type="text" name="url" />
<input type="submit" />
</form>
Все, что я вижу, это то, что данные в форме перезаписывают URL-адрес и не добавляются к нему.