На странице бронирования вам нужно вставить значение = "{CHECK_IN_DATE}" и значение = "{CHECK_OUT_DATE}" в вашу форму с идентификатором = =servation_frm ". Это должно происходить на стороне сервера, потому что вы публикуете эти данные из вашего stay_withus_form.
Я не знаю, какую серверную технологию вы используете, будь то php, ruby или .net, это не имеет значения.
Затем используйте Javascript на странице бронирования, чтобы отправить форму booking_frm:
используя старый добрый Javascript:
document.forms["reservation_frm"].submit();
или используя jQuery
$("#reservation_frm").submit();