Чтобы получить доступ к БД из EC2, вам нужно использовать ее публичное DNS-имя. Вы можете найти это на странице сведений об экземпляре.
Имейте в виду, что если вы остановите экземпляр и перезапустите его, публичное DNS-имя изменится. Таким образом, вам действительно следует использовать Elastic IP, связать его с вашим экземпляром и иметь обычное общедоступное DNS-имя, которое указывает на эластичный IP. Таким образом, вам не придется изменять информацию о конфигурации, если вам нужно остановить экземпляр.
Кроме того, вам необходимо убедиться, что в группе безопасности, в которой находится сервер базы данных, открыт нужный порт. Для SQL-сервера стандартным портом является 1433.
К вашему сведению - обычно считается плохой практикой прямой доступ к серверу базы данных в Интернете. Вместо этого у вас должен быть как минимум слой веб-сервисов между вами и базой данных, который предоставляет ТОЛЬКО необходимую вам функциональность.
Однако, если это невозможно, то как минимум вам следует перенести SQL-сервер на другой порт и выставить его в настройках своей группы безопасности. На самом деле это не повышает вашу безопасность (это просто заслоняет порт), однако большинство скриптовых атак направлены только на стандартные порты SQL-сервера, такие как 1433. Таким образом, это поможет уменьшить количество атак, которые вы увидите.