Поскольку это, кажется, домашнее задание, я не собираюсь давать вам исчерпывающий ответ, а скорее попытаюсь направить вас в нужное русло.
- Как вы представляете многочлены в компьютерной программе? интуитивно понятная версия, которую вы хотите заархивировать как символическое выражение, например 3x ^ 3 + 5x ^ 2-4, очень непрактична для дальнейших вычислений.
- Полином определяется полностью путем сохранения (и вывода) его коэффициентов.
То, что вы делаете выше, надеется, что C ++ сделает некоторые алгебраические манипуляции для вас и упростит ваш продукт с помощью символической переменной .Это ничего не может сделать C ++ без особых усилий.
У вас есть два варианта:
- Либо используйте правильную систему компьютерной алгебры, которая может выполнять символические манипуляции (например, Maple или Mathematica)
- Если вы связанына C ++ вам нужно немного подумать, как можно вычислить отдельные коэффициенты полинома.Вывод вашей программы может быть только списком чисел (который вы, конечно, можете форматировать как красивую строку в соответствии с символическим выражением).
Надеюсь, это даст вам некоторые идеи, как начать.
Редактировать 1
В вашем коде все еще есть неопределенное выражение, так как вы никогда не устанавливаете значение y.Это оставляет prod*=(y-x[i])/(x[k]-x[i]) как выражение, которое не будет возвращать значимые данные.C ++ может работать только с числами, и y для вас сейчас не число, но вы воспринимаете его как символ.
Вы можете оценить приближение Лагранжа, скажем, значение 1, если вы установите y=1 в своем коде.Это даст вам (насколько я вижу сейчас) правильное значение функции, но не будет описания самой функции.
Возможно, вам следует сначала взять ручку и лист бумаги и попытаться записатьвыражение как точная математика.Попробуйте получить реальное представление о том, что вы хотите вычислить.Если вы сделали это, возможно, вы вернетесь сюда и расскажете нам свои мысли.Это должно помочь вам понять, что там происходит.
И всегда помните: C ++ нужны цифры, а не символы.Всякий раз, когда в выражении на вашем листе бумаги есть символ, значение которого вы не знаете, вы можете либо найти способ вычисления значения из известных значений, либо вы должны исключить необходимость вычисления с использованием этого символа.
PS: Не рекомендуется писать одинаковые вопросы сразу в нескольких досках обсуждений ...
Редактировать 2
Теперь вы оцениваетефункция в точке у = 0,3.Это путь, если вы хотите оценить полином.Однако, как вы заявили, вам нужны все коэффициенты полинома.
Опять же, я все еще чувствую, что вы не поняли математику проблемы.Может быть, я приведу небольшой пример.Я собираюсь использовать обозначение, как оно используется в статье в Википедии.
Предположим, у нас было k = 2 и x = -1, 1. Кроме того, позвольте мне просто назвать вашу cos-функцию f для простоты.(Обозначения станут довольно безобразными без латекса ...) Тогда полином Лагранжа определяется как
f(x_0) * l_0(x) + f(x_1)*l_1(x)
где (повторяя упрощения символически )
l_0(x)= (x - x_1)/(x_0 - x_1) = -1/2 * (x-1) = -1/2 *x + 1/2
l_1(x)= (x - x_0)/(x_1 - x_0) = 1/2 * (x+1) = 1/2 * x + 1/2
Итак, ваш полином Лагранжа равен
f(x_0) * (-1/2 *x + 1/2) + f(x_1) * 1/2 * x + 1/2
= 1/2 * (f(x_1) - f(x_0)) * x + 1/2 * (f(x_0) + f(x_1))
Итак, коэффициенты, которые вы хотите вычислить, будут 1/2 * (f (x_1) - f (x_0)) и 1/2 * (f(x_0) + f (x_1)).
Теперь ваша задача - найти алгоритм, который делает упрощение, которое я сделал, но без использования символов.Если вы знаете, как вычислить коэффициенты l_j, вы в основном сделали это, поскольку вы можете просто сложить коэффициенты, умноженные на соответствующее значение f.
Итак, еще больше разбиваясь, вы должны найти способ умножить коэффициенты в l_j друг на друга на компонент за компонентом .Выясните, как это делается, и вы почти закончили.
Редактировать 3
Хорошо, давайте немного менее расплывчаты.
Сначала мы хотим вычислить L_i (x). Это просто продукты линейных функций. Как сказано выше, мы должны представлять каждый многочлен как массив коэффициентов. Для хорошего стиля я буду использовать std::vector вместо этого массива. Затем мы можем определить структуру данных, содержащую коэффициенты L_1 (x), следующим образом:
std::vector L1 = std::vector(5);
// Lets assume our polynomial would then have the form
// L1[0] + L2[1]*x^1 + L2[2]*x^2 + L2[3]*x^3 + L2[4]*x^4
Теперь мы хотим заполнить этот многочлен значениями.
// First we have start with the polynomial 1 (which is of degree 0)
// Therefore set L1 accordingly:
L1[0] = 1;
L1[1] = 0; L1[2] = 0; L1[3] = 0; L1[4] = 0;
// Of course you could do this more elegant (using std::vectors constructor, for example)
for (int i = 0; i < N+1; ++i) {
if (i==0) continue; /// For i=0, there will be no polynomial multiplication
// Otherwise, we have to multiply L1 with the polynomial
// (x - x[i]) / (x[0] - x[i])
// First, note that (x[0] - x[i]) ist just a scalar; we will save it:
double c = (x[0] - x[i]);
// Now we multiply L_1 first with (x-x[1]). How does this multiplication change our
// coefficients? Easy enough: The coefficient of x^1 for example is just
// L1[0] - L1[1] * x[1]. Other coefficients are done similary. Futhermore, we have
// to divide by c, which leaves our coefficient as
// (L1[0] - L1[1] * x[1])/c. Let's apply this to the vector:
L1[4] = (L1[3] - L1[4] * x[1])/c;
L1[3] = (L1[2] - L1[3] * x[1])/c;
L1[2] = (L1[1] - L1[2] * x[1])/c;
L1[1] = (L1[0] - L1[1] * x[1])/c;
L1[0] = ( - L1[0] * x[1])/c;
// There we are, polynomial updated.
}
Это, конечно, должно быть сделано для всех L_i. После этого L_i должны быть добавлены и умножены на функцию. Это для вас, чтобы выяснить. (Обратите внимание, что я сделал много неэффективных вещей там, но я надеюсь, что это поможет вам лучше понять детали.)
Надеюсь, это даст вам некоторое представление о том, как вы могли бы действовать.