Процесс состоит из двух частей
1) преобразование базы данных Access в сценарии, есть несколько хороших вариантов , хотя для этого вам может понадобиться Access и, возможно, Sql Server,
2) Выберите вашу целевую базу данных - MySql может показаться вам подходящей, запустите ее на Linux или Windows и запустите ddl и данные из сценариев.
Не уверен, как вы можете сделать это без Access, хотя, вы знаете, как выглядит схема? Если вы столкнетесь с пробами, я мог бы помочь с шагом 1, но на данный момент у меня нет установленной Linux.