В целях обработки исключений я хотел бы знать, был ли сделан запрос ajax с помощью POST или GET, но не могу выяснить, как это сделать.*
Я на правильном пути вообще?
Взгляните на свойство RequestType, чтобы определить, было ли это GET или POST.
RequestType
Request.RequestType
filterContext.RequestContext.HttpContext.Request.HttpMethod