Чтобы перезагрузить страницу, используя JavaScript, вы можете сделать:
window.location.href=window.location.href
Таким образом, чтобы перезагрузить после клика, просто добавьте это в конец клика, например:
onclick="removeCart('<?php echo $product['key']; ?>');window.location.href=window.location.href;"
редактировать: полный код с задержкой
<a onclick="removeCart('<?php echo $product['key']; ?>');setTimeout('window.location.href=window.location.href', 100)" name="remove[<?php echo $product['key']; ?>]" class="button"><span>Remove</span></a>