Во-первых, вы можете использовать метод POST для отправки формы вместо использования GET по умолчанию.
Вы делаете это так:
<form action="???.php" method="POST">
<input name="customer" id="customer">
<input name="amount" id="amount">
<input type="submit" value="send">
</form>
Это позволит вам использовать
$customer = $_POST['customer']
в вашем PHP вместо
$_GET['customer']
. Таким образом, значения формы не отображаются в URL.
Если вы действительно хотите отказаться от адресной строки, вы можете использовать cURL или Ajax для отправки формы (учтите, что запросы Ajax все еще видны с помощью таких инструментов, как Firebug).