Я не совсем уверен, что вы подразумеваете под "использовать куки Firefox". Вот фрагмент кода, который я написал для получения данных из API Goolge Reader, передав файл cookie вместе с запросом Apache HttpClient.
Необходимо отправить файл cookie, который Google дает вам при подключении («SID») вместе со своим запросом. Это то, что вы ищете?
// Obtain SID
GetMethod getLogin = new GetMethod("https://www.google.com/accounts/ClientLogin?service=reader&Email="+
login+"&Passwd="+password);
client.executeMethod(getLogin);
String loginText = getLogin.getResponseBodyAsString();
// The value of SID is loginText.substring (4,firstLineLength)
BufferedReader reader = new BufferedReader(new StringReader(loginText));
String SID = loginText.substring(4, reader.readLine().length() );
GetMethod grabData = new GetMethod("http://www.google.com/reader/atom/user/-/state/com.google/broadcast");
grabData.setRequestHeader("Cookie", "SID="+SID);
client.executeMethod(grabData);