Вам необходимо использовать кавычки вокруг строковых значений;
$sql = "UPDATE db.users SET $str WHERE users.{$this->row} = '{$this->value}' LIMIT 1";
Поскольку вы уже используете PDO, может быть полезно использовать подготовленные операторы.Хотя это немного медленнее для одноразового запроса, оно повышает безопасность и обрабатывает все необходимые экранирования, поэтому вы не столкнетесь с этими проблемами.