Прежде всего, вам нужен массив, а не указатель.
static const char * const days[] = {"mon", "tue", "wed", "thur",
"fri", "sat", "sun"};
Во-вторых, вы не можете инициализировать это непосредственно внутри определения класса.Внутри определения класса оставьте только это:
static const char * const days[]; //declaration
Затем в .cpp файле напишите определение
const char * const Week::days[] = {"mon", "tue", "wed", "thur",
"fri", "sat", "sun"};
Обновление для C ++ 11 Теперь вы можете инициализировать членов непосредственно в определении класса:
const char * const days[] = {"mon", "tue", "wed", "thur",
"fri", "sat", "sun"};