Вы должны будете назначить каждому элементу идентификатор - позицию, которую он занимает в списке.Во время перемещения измените это значение (например, для этого вы можете использовать 'rel')
Localstorage будет содержать что-то вроде:
1 - firstEl
2 - thirdEl
3 - secondEl
Тогда как список будет выглядеть следующим образом:
<ul>
<li id="firstEl" rel="1">..</li>
<li id="thirdEl" rel="2">..</li>
<li id="secondEl" rel="3">..</li>
</ul>